夫の死後4か月が経過しましたが、昨日、実は夫が多額の借金を抱えていたことが発覚しました。今後この借金を私が払っていかなければならないのでしょうか？

相続放棄もしくは限定承認という制度を使うことで、払わなくてもよくなる可能性があります。
相続放棄、限定承認についてまず説明致します。
相続放棄とは、プラスの遺産、マイナスの遺産のすべてを引き継がず、最初から相続人ではなかったことになるものです。
限定承認とは、プラスの遺産を相続し、マイナスの遺産についてはプラスの遺産の額の範囲内で相続することです。遺産においてプラスの遺産とマイナスの遺産のいずれが多いかがわからないような場合に用いられます。このような場合、後からマイナスの方が多いことがわかっても、プラスの遺産の範囲内でしか相続されないので、相続人としては±ゼロとなるし、プラスが多ければプラスマイナス両方を相続するので、その差額分は相続人が得をする、という便利な制度です。ただし、相続する人全員が限定承認を選択しないと使えないので、一人でも相続放棄や単純承認（プラスもマイナスも無条件で相続すること）をすると、他の相続人も限定承認は用いることができないというデメリットもあります。また、限定承認の場合、土地などのプラスの財産に含み益がある場合、その分に対して所得税がかかることにも注意が必要であり、場合によっては単純承認の方が得な場合もあります。
次に、相続放棄、限定承認の方法について説明致します。
「自己のために相続の開始があったことを知ったとき」から3か月以内（これを「熟慮期間」といいます）に、被相続人（亡くなった方）の最後の住所地の家庭裁判所に申告する必要があります。この期間を過ぎると、単純承認したものとして扱われます。
「自己のために相続の開始があったことを知ったとき」とは、基本的には相続される方の死亡を知ったときと考えてよいです。亡くなったときから3か月ではないので注意してください。
また、この3か月の間に、相続財産の調査の困難などの事情を家庭裁判所に申し出ることにより、3か月の期間を延ばしてもらうことが可能です。
　　　
それでは、夫の死を知ってから4か月経過してしまったので、借金のすべてを私が支払わなければならないということでしょうか？
3か月経過後でも、相続放棄や限定承認が認められる可能性もあります。過去の裁判例を見ても、亡くなった方と相続人の間が、長年没交渉であり、相続財産についての調査をすることも難しいような環境において、相続財産はないと信じていたような事案につき、相続人が相続財産の全部または一部の存在を認識したとき、もしくは普通の人なら認識できたような状況になったときから熟慮期間が進行する、との判断をしています。
簡単には認められるものではないですが、このような判断が出る可能性もあるので、具体的に弁護士に相談されることをお勧めします。