認知症の親に遺言を残してもらうことはできますか？

遺言の作成には「遺言能力」、つまり自分の遺言内容と遺言による結果を理解できる意思能力が必要です。
認知症の方は、この能力が低下していることが多いため、進行度によっては遺言を有効に作成できない場合があります。

認知症の方が遺言を作成される場合、公正証書によって作成し、かつその時点での医師の診断書を残しておくとよいでしょう。
どの程度であれば遺言を有効に作成できるかというのは難しい判断になりますので、弁護士にもご相談ください。